🔢 벡터 내적 계산기

2차원 또는 3차원 벡터의 내적(스칼라곱)을 계산하고 두 벡터 사이의 각도를 구할 수 있습니다.

벡터 차원 선택

벡터 A 입력

벡터 B 입력

📚 벡터 내적이란?

벡터 내적(점곱, 스칼라곱)은 두 벡터의 곱셈 연산으로, 결과값이 스칼라(실수)인 연산입니다.

🔍 내적의 정의

기하학적 정의:

A · B = |A| × |B| × cos(θ)

여기서 θ는 두 벡터 사이의 각도

대수적 정의:

2차원: A · B = ax×bx + ay×by

3차원: A · B = ax×bx + ay×by + az×bz

📐 내적의 기하학적 의미

  • 양수: 두 벡터가 예각을 이룸 (0° < θ < 90°)
  • 0: 두 벡터가 수직임 (θ = 90°)
  • 음수: 두 벡터가 둔각을 이룸 (90° < θ < 180°)
  • 최대값: 두 벡터가 같은 방향 (θ = 0°)
  • 최소값: 두 벡터가 반대 방향 (θ = 180°)

🎯 내적의 활용

  • 물리학: 일의 계산 (W = F · d)
  • 컴퓨터 그래픽스: 조명, 반사 계산
  • 기계학습: 유사도 측정
  • 통계학: 상관관계 분석

💡 계산 예제

2차원 예제: A = (3, 4), B = (1, 2)

  • 내적: A · B = 3×1 + 4×2 = 3 + 8 = 11
  • 크기: |A| = √(3² + 4²) = 5, |B| = √(1² + 2²) = √5
  • 각도: cos θ = 11/(5×√5) = 11/(5√5) ≈ 0.983
  • 결과: θ ≈ 10.77°

3차원 예제: A = (1, 2, 3), B = (4, 5, 6)

  • 내적: A · B = 1×4 + 2×5 + 3×6 = 4 + 10 + 18 = 32
  • 크기: |A| = √14, |B| = √77
  • 각도: cos θ = 32/(√14×√77) ≈ 0.974
  • 결과: θ ≈ 13.21°

🌟 내적의 성질

  • 교환법칙: A · B = B · A
  • 분배법칙: A · (B + C) = A · B + A · C
  • 결합법칙: k(A · B) = (kA) · B = A · (kB)
  • 자기 자신과의 내적: A · A = |A|²

🔧 실용적 공식

벡터의 투영:

벡터 A의 B 방향 투영 = (A · B) / |B|

두 벡터가 수직인지 확인:

A ⊥ B ⟺ A · B = 0

벡터의 단위벡터:

unit(A) = A / |A|

⚠️ 주의사항

  • 내적의 결과는 스칼라(실수)입니다
  • 영벡터와의 내적은 항상 0입니다
  • 각도 계산 시 |A||B| ≠ 0 이어야 합니다
  • cos⁻¹의 정의역은 [-1, 1] 입니다