행렬 계산기

2×2, 3×3 행렬의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 행렬식, 역행렬을 계산하고 단계별 풀이를 제공합니다.

행렬 크기 선택:

행렬 연산 기초

🔢 행렬 덧셈/뺄셈

같은 크기의 행렬에서 대응하는 원소끼리 연산합니다.

[a b] + [e f] = [a+e b+f]
[c d] [g h] [c+g d+h]

✖️ 행렬 곱셈

A의 열 수와 B의 행 수가 같아야 곱셈이 가능합니다.

(A × B)ᵢⱼ = Σ(Aᵢₖ × Bₖⱼ)

2×2 행렬: (m×n) × (n×p) = (m×p)

🎯 행렬식 (Determinant)

정사각행렬의 특성을 나타내는 스칼라 값입니다.

det([a b]) = ad - bc
    ([c d])

🔄 역행렬 (Inverse)

A × A⁻¹ = I가 되는 행렬입니다. (det(A) ≠ 0일 때만 존재)

A⁻¹ = (1/det(A)) × adj(A)

행렬 공식 모음

2×2 행렬 공식

행렬식: det(A) = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁

역행렬: A⁻¹ = (1/det(A)) × [a₂₂ -a₁₂; -a₂₁ a₁₁]

전치행렬: Aᵀ = [a₁₁ a₂₁; a₁₂ a₂₂]

3×3 행렬 공식

행렬식 (사루스 법칙):
det(A) = a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

행렬의 성질

📐 기본 성질

  • A + B = B + A (교환법칙)
  • (A + B) + C = A + (B + C) (결합법칙)
  • A + O = A (영행렬)
  • k(A + B) = kA + kB (분배법칙)

🔄 곱셈 성질

  • (AB)C = A(BC) (결합법칙)
  • A(B + C) = AB + AC (분배법칙)
  • AI = IA = A (단위행렬)
  • AB ≠ BA (일반적으로 비교환)

🎯 행렬식 성질

  • det(AB) = det(A)det(B)
  • det(Aᵀ) = det(A)
  • det(A⁻¹) = 1/det(A)
  • det(kA) = kⁿdet(A) (n×n 행렬)

⚡ 특별한 행렬

  • 대각행렬: 대각선 외 모든 원소가 0
  • 대칭행렬: A = Aᵀ
  • 반대칭행렬: A = -Aᵀ
  • 직교행렬: AAᵀ = I

실생활 응용

🎮 컴퓨터 그래픽

  • 3D 객체의 회전, 이동, 확대
  • 좌표계 변환
  • 투영 변환
  • 게임 엔진의 핵심

🤖 인공지능

  • 신경망의 가중치 계산
  • 이미지 처리
  • 머신러닝 알고리즘
  • 데이터 차원 축소

📊 데이터 분석

  • 주성분 분석(PCA)
  • 선형 회귀 분석
  • 상관관계 분석
  • 최적화 문제 해결

🔬 과학 계산

  • 물리학의 상태 벡터
  • 양자역학 계산
  • 회로 분석
  • 구조 역학